Теорема Ферма, - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xn + yn = zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z. Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны.
Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало.
Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p > 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение
xp + yp = zp (1)
не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z. Можно также считать, что числа x и y взаимно просты с p. При доказательстве теоремы Ферма рассматривают два случая: первый случай, когда (xyz, p) = 1 и второй случай, когда p|z. Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска. Существенный вклад в доказательство теоремы Ферма внес Э. Куммер, который создал принципиально новый метод, основанный на разработанной им арифметической теории кругового поля. Используется тот факт, что в поле , левая часть уравнения (1) разлагается на линейные множители , которые являются p-ми степенями идеальных чисел поля в первом случае и отличаются от p-х степеней на множитель во втором случае. Если p делит числители Бернулли чисел B2n (n = 1, 2, ..., (p - 3)/2), то по критерию регулярности p не делит число h классов идеалов поля и эти идеальные числа - главные. В этом случае Э. Куммер доказал теорему Ферма. Не известно бесконечно или конечно число регулярных чисел p (по теореме Иенсена число иррегулярных простых чисел бесконечно). Э. Куммер доказал теорему Ферма для некоторых классов иррегулярных простых чисел и тем самым установил ее справедливость для всех p < 100. В первом случае он показал, что из (1) следует выполнимость сравнений
n = 2, 4, ..., p - 3,
справедливых при любой перестановке x, y, -z. Отсюда он получил, что если в первом случае уравнение (1) разрешимо, то для n = 3, 5.Во втором случае Э. Куммер доказал теорему ферма при следующих условиях: 1) , где h1 - первый множитель числа классов идеалов поля (это равносильно требованию, что числитель только одного числа B2n, где 2n = 2, 4, ..., p - 3, делится на p); 2) ; 3) найдется идеал, по модулю которого единица
не сравнима с p-й степенью целого числа из , где g - первообразный корень по модулю p, а
Метод Куммера получил широкое развитие во многих работах по теореме Ферма. Из (1) в первом случае установлена выполнимость сравнений (2) для n = 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. М. Краснер при тех же условиях показал, что найдется такое число p0, что при p > p0 сравнение (2) верно для всех чисел n = 2k + 1, где .
Х. Брюкнер доказал, что число чисел Bn, n = 2, 4, ..., p - 3, числители которых делятся на p больше, чем . Пусть . П. Реморов показал, что существуют такие постоянные Nk и Mk, Nk < Mk, что для всех p < Nk, p > Mk, первый случай теоремы Ферма справедлив. М. Айхлер установил, что первый случай теоремы ферма верен при , где H - индекс иррегулярности поля . Г. Вандивер доказал первый случай при , где h2 - второй множитель числа классов идеалов поля . Интересные результаты по второму случаю теоремы Ферма получены им в "Amer. Math. Monthly", "Trans. Amer. Math. Soc." Например, он показал, что теорема Ферма истинна при следующих условиях: 1) (h2, p) = 1, 2) , n = 2, 4, ..., p - 3. Наиболее важной является теорема: пусть p - иррегулярное простое число, 2a1, 2a2, ..., 2as - индексы чисел Бернулли из B2, B4, ..., Bp-3, числители которых делятся на p; если ни одна из единиц Ea (a = a1, a2, ..., as) не сравнима с p-й степенью целого числа из по , где - простой идеал, делитель простого числа q < p2 - p и , то теорема Ферма верна. Отсюда Г. Вандивер получил эффективно проверяемый критерий для иррегулярных простых чисел, с помощью которого на ЭВМ доказана теорема Ферма для всех p < 125000.Результаты по первому случаю теоремы Ферма разнообразней. Еще в 1823 году А. Лежандр публикует результат С. Жермен: если существует простое число q такое, что сравнение не имеет целых решений , не делящихся на q, и p не является вычетом p-й степени по mod q, то справедлив первый случай теоремы Ферма. Отсюда он показал, что если хотя бы одно из чисел 2kp + 1, , простое, то имеет место первый случай теоремы Ферма. Это предложение выведено для всех . А. Виферих открыл следующий критерий: если , где q(m) = (mp-1 - 1)/p - частное Ферма, то первый случай теоремы Ферма верен. М. Мириманов доказал это при . В дальнейшем, рядом других авторов первый случай теоремы Ферма был установлен для всех p, для которых , где m - какое-нибудь простое число . Отсюда следует первый случай теоремы Ферма для , где содержат в своих разложениях только простые числа . Вычисления на ЭВМ показали, что среди чисел только два: p = 1093 и p = 3511 удовлетворяют условию p|q(2), но для них . Это доказывает первый случай теоремы Ферма для всех . Ф. Фуртвенглер на основе закона взаимности Эйзенштейна довольно просто повторил результаты А. Вифериха и М. Мириманова. Он доказал также, что если x, y, z решение уравнения (1) и (x, y) = 1, то p|q®, где r|x, но , или r|y, но , или , но .
Известно много других различных критериев для первого случая теоремы Ферма, которые связаны с разрешимостью определенных сравнений или с существованием простых чисел определенного вида, но неизвестно, бесконечно ли число простых чисел p, для который первый случай теоремы Ферма справедлив. Следует отметить, что уравнение x2p + y2p = z2p неверно, если 2p не делит ни x, ни y. Контрпример к теореме Ферма практически привести невозможно. К. Инкери показал, что если целые числа x, y, z, 0 < x < y < z удовлетворяют уравнению (1), то , а в первом случае: .
Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n > 2 на кривой Ферма xn + yn = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных . Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.
Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т. д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида xn + yn = Dzn.
